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自从B. B. Mandelbrot创立分形几何学以来,广大学者借助复变函数理论对复平面上Julia集(J集)和Mandelbrot集(M集)的无限精细结构、周期轨道和自相似性等进行了系统、详尽和精确的分析,推动了分形理论的不断发展.1982年,Alan Norton首次将哈密顿四元数应用于三维分形集的生成[1],并采用边界检测法来绘制这些复杂结构,最早观察到了三维分形集的全局图像.1989年,Norton提出了构造四维空间中具有多种不同结构的Julia集的方法[2],并通过边界检测法绘制的Julia集图像验证了该法的有效性.边界检测法是一种以对象空间为序的算法,在绘制过程中需保存绘制对象上每个点的信息,因而需要很大的存储空间.为了克服边界检测法的局限性,并获得更真实的三维分形表面,John C. Hart提出了体光线跟踪法[3],该方法以图像空间为序,直接研究光线通过体数据场时的变化,对内存要求低,并可得到具有不同层次细节结构的高质量三维分形图像.此外,体光线跟踪法还可以在绘制过程中引入漫射、反射、折射等特殊效果,因而能够绘制出比边界检测法更精细的三维分形图,但它的绘制速度比较慢.1990年,John C. Hart[4]在前人工作的基础上提出了能实现Julia集交互显示的反迭代法.反迭代法虽然简单、快速且占用内存少,但采用该方法所绘制的结果图的质量很差,因而有很大的局限性.文献[5]也采用哈密顿四元数来构造M集和J集,但由于存在可视化技术上的困难,文中只给出了这些分形集在二维平面上的投影,未能直观地表达高维分形集的真实结构.与文献[1−5]的侧重点不同,文献[6]从理论上比较系统地分析了四元数映射周期轨道的稳定性,并证明了四维空间中Mandelbrot集和Julia集所具有的性质;文献[7]则从理论上证明了用哈密顿四元数所构造的Julia集在三维空间中的投影可以通过其二维Julia子集围绕某一特定轴旋转而得到.
以上研究均采用哈密顿四元数作为迭代运算工具,所得到的三维分形集具有相同的形式(即旋转对称结构),S. Bedding等人[8,9]甚至认为,哈密顿四元数乘法的不可交换性决定了利用其所获得的分形集难以具备与复平面分形集相提并论的重要意义.因此,研究者们开始寻求借助其他数学理论或工具生成三维分形集的方法,并先后提出了基于满足乘法交换律的双复数[10]和变异的“复数化”四元数[11]构造三维分形集的方法.更为重要的是,研究者们突破了利用四元代数来构造三维分形集的传统思想,探索了直接在三维算术空间中构造三维分形集的方法,分别采用二次多项式映射[12]、三元数[13]和参数化函数[14]来构造分形集,不仅丰富了三维分形集的形式,而且有效地避免了四元代数法构造三维分形集时,由四维到三维的投影过程所引起的信息丢失、不直观和不可控,推动了复平面分形集在三维空间中的拓展.
然而,上述三维分形集生成方法在丰富三维分形的研究内容和推动分形理论发展的同时,仍然存在以下不足之处:(1) 生成的三维分形集包含的信息量比较少.采用三元数法、参数化函数法等构造三维分形集虽然避免了四维到三维的投影过程,但所获得的分形集往往是复平面上的分形沿着某一方向进行推移所得到的三维柱状体,并未包含多少复平面分形所不具备的信息;(2) 三维分形集的结构形状取决于相应复平面上分形集的形状,缺乏变化.利用三元数等所构造的三维分形集具有柱状结构,而这些柱状体的底面总是与某个复平面上的分形具备相同的形状特征.因此,用三元数等方法所构造的三维分形集的形状,实际上是由与其相对应的某个复映射分形所唯一确定的,结构形状比较单调;(3) 无法预测分形集的形状和结构特征.在用三元数等方法构造三维分形集时,我们无法在获得分形图像前预测某个映射或函数进行迭代所生成的分形集将会具有何种结构形式.
程锦等:基于三维多项式映射的广义Julia集表示与绘制

 

 

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